Algèbre linéaire Exemples

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de $ℝ^{3}$ à $ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

S : $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Réorganisez $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Étape 6.2

Réorganisez $x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Étape 6.3

Réorganisez $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Étape 7

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Étape 8

La propriété d’addition de la transformée est vraie.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Étape 9

Pour qu’une transformée soit linéaire, elle doit maintenir la multiplication scalaire.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Étape 10

Factorisez le $p$ à partir de chaque élément.

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Étape 10.1

Multipliez $p$ par chaque élément dans la matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Étape 10.2

Appliquez la transformation au vecteur.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Étape 10.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 10.3.1

Réorganisez $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Étape 10.3.2

Réorganisez $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Étape 10.3.3

Réorganisez $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Étape 10.4

Factorisez chaque élément de la matrice.

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Étape 10.4.1

Factorisez l’élément $0, 0$ en multipliant $2 a p - 12 b p + 12 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Étape 10.4.2

Factorisez l’élément $1, 0$ en multipliant $a p + 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Étape 10.4.3

Factorisez l’élément $2, 0$ en multipliant $2 a p + 2 b p + 4 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

Étape 11

La deuxième propriété d’une transformation linéaire est conservée dans cette transformation.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Étape 12

Pour que la transformée soit linéaire, le vecteur nul doit être préservé.

$S (0) = 0$

Étape 13

Appliquez la transformation au vecteur.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Étape 14

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 14.1

Réorganisez $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Étape 14.2

Réorganisez $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Étape 14.3

Réorganisez $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 15

Le vecteur nul est conservé par la transformation.

$S (0) = 0$

Étape 16

Comme les trois propriétés des transformations linéaires ne sont pas respectées, il ne s’agit pas d’une transformation linéaire.

Transformation linéaire